Home » , » Deret aritmatika, Deret Bilangan, Rumus Deret Aritmatika, Contoh Soal Deret Aritmatika, Deret Aritmatika dan Bilangan Geometri, Arithmetic Progression.

Deret aritmatika, Deret Bilangan, Rumus Deret Aritmatika, Contoh Soal Deret Aritmatika, Deret Aritmatika dan Bilangan Geometri, Arithmetic Progression.

Posted by berbagaireviews.com on 7 Agustus 2018


Rumus - rumus deret arimatika dan deret bilangan geometri - berbagaireviews.com
Pengertian Deret Aritmetika (Deret Hitung).
Deret Bilangan.

Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku – suku barisan bilangan. 

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut

1, 3, 5, 7, 9, …
5, 10, 15, 20, …
2, 4, 8, 16, …
48, 40, 32, 24, …

Deret bilangan dari barisan bilangan tersebut adalah

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
5 + 10 + 15 + 20 + …
2 + 4 + 8 + 16 + …
48 + 40 + 32 + 24 + …

Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un

Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un

Bentuk seperti ini disebut deret bilangan .
Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan.
Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.

Deret aritmatika
Coba kamu perhatikan barisan aritmetika berikut.

3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , Un

Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut.

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + Un
Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika.

Contoh Soal Deret Aritmatika.

Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmetika dari barisan tersebut.

Jawab:

Barisan aritmetikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ..., Un
Deret aritmetikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + ... + Un


Rumus Deret Aritmatika.

Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut? Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya.

Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya.

Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka;
Deret aritmatika - berbagaireviews.com
 
Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku - suku deret aritmetika adalah sebagai berikut.


Rumus untuk menghitung jumlah suku deret aritmatika - berbagaireviews.com

Oleh karena Un = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut.

 
Rumus menghitung deret aritmatika - berbagaireviews.com
Macam - Macam Deret Bilangan.

Macam – macam deret bilangan yaitu :

1. Deret Bilangan Aritmatika.

Deret aritmatika , yaitu suatu jumlah dari suku – suku barisan bilangan aritmatika .

Jika a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .a+(n-1)b adalah barisan bilangan aritmatika maka bentuk dari deret aritmatika adalah a+ (a+b) + ( a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + . . . .

Rumus Jumlah deret aritmatika suku ke n  adalah :

Sn = 1/2  n ( a+ Un )  atau Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

Keterangan :

Sn = jumlah suku ke n

n = Banyaknya suku

b = rasio atau beda


Contoh soal deret bilangan aritmatika.


4 + 9 + 14 + 19 + . . .
Dari deret bilangan diatas , tentukan S30 = . . ?

Penyelesaian :

Diketahui : a = 4 , b = 5

Un = a + ( n – 1 ) b

U30 = 4 + ( 30 -1 ) 5

= 4 + 29.5

= 4 + 145

= 149

maka , S30 adalah :

Cara 1

Sn = 1/2  n ( a+ Un )

S30 = 1/2 . 30 ( 4 + 149 )

= 15 x 153

= 2295

Cara 2

Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S30 = 1/2 30 [ 2.4 + ( 30 – 1 ) 5 ]

= 15 [ 8 + 29 .5 ]

= 15 ( 8 + 145 )

= 15 ( 153 )

= 2295

2. Tentukan nilai n dan sn dari deret aritmatika dibawah ini :

3 + 7 + 11 + 15 + . . .+ 199

Penyelesaian :

Diketahui : a = 3 , b = 4

Ditanya :

a.) n = . . .

b.) Sn = . . .

Jawab :

a.) Un = a + ( n -1 ) b

199 = 3 + ( n – 1 ) 4

199 = 3 + 4n -4

199 = -1 + 4n

200 = 4n

50 = n

b.) cara 1

Sn = 1/2  n ( a+ Un )

S50 = 1/2 .50 ( 3 + 199 )

= 25 ( 202 )

= 5050

Cara 2

Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S50 = 1/2.50 [ 2.3 + ( 50 – 1 ) 4 ]

= 25 [ 6 + 49.4 ]

= 25 ( 6 + 196 )

= 25 ( 202 )

= 5050

3. Tentukan Sn , dari deret aritmatika berikut :

1 + 5 + 9 + 13 + . . . + U10

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 1 , b = 4 , n = 10

Ditanya : Sn = . . . ?

Jawab :

Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S10 = 1/2.10 [ 2.1 + ( 10 – 1 ) 4 ]

= 5 [ 2 + 9.4 ]

= 5 ( 2 + 36 )

= 190

4. Diketahui suatu deret aritmatika suku ke5 = 13 dan suku ke 9 = 21 . Tentukan :

a.) nilai a dan b

b.) U10

c.) S11

Penyelesaian ;

a.) U5 = 13 —> a + 4b = 13

U9 = 21 —> a+ 8b = 21   _

-4 b = -8

b = 2

a + 4b = 13

a + 4.2 = 13

a + 8 = 13

a = 5

b.) U10 = a + 9b

U10 = 5 + 9 .2

u10 = 5 + 18   =  23

c.) Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S11  = 1/2 .11 [ 2.5 + ( 11 – 1 ) 2 ]

 S11 = 1/2 .11 [ 10 + 10.2 ]

S11 = 1/2.11 ( 30 )

S11 = 165


2. Deret Bilangan Geometri

Deret bilangan geometri , yaitu jumlah dari barisan bilangan geometri .

Jika bentuk barisan bilangan geometri adalah  a , a.r , a.r2 , a.r3 , a.r4 , a.r5  . . . . a.rn-1 maka bentuk dari deret bilangan geometri adalah  a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  . . . .a.rn-1

Jumlah n suku pertama dari deret geometri atau yang dilambangkan dengan Sn , adalah :

Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  . . . .a.rn-1

Apabila rumus di atas kita kalikan dengan r . maka akan menghasilkan rums sebagai berikut :

rSn =   a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  + a.r6. . . .a.rn-1  + a.rn

Dari kedua persamaan diatas , kita kurangkan maka akan dihasilkan sebagai beriikut :

Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  . . . .a.rn-1

rSn =   a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  + a.r6. . . .a.rn-1  + a.rn

                                                                                                                                  
Sn – rSn = a –  a.rn

Sn ( 1 – r ) = a ( 1 – rn )

Sn =  a – a rn  / 1 – r

Sn = a ( 1 – rn ) / ( 1 – r )

Jadi , dapat kita simpulkan bahwa , rumus jumlah n suku pertama dalam deret geometri adalah :

Sn = a – a rn  / 1 – r atau Sn = a ( 1 – rn) / 1 – r  , dengan r  ≠ 1

Contoh soal deret bilangan geometri.

1. Diketahui sebuah deret geoetri , dimana U3 = 18 , dan U6 = 486 . Tentukan :
a.) a dan r

b.) S10

Penyelesaian :

a.) U6 = 486 –> a.r 5= 486

 U3      =     18  –>  a.r2  = 18

U6 / U3 = 486 / 18   —–>  a.r 5 /   a.r2  =  486 / 18

                                                     r3 = 27

                                                      r = 3

a.r2  = 18 

a.32  = 18

a.9 = 18

a = 2

b.) Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r

S10 = 2 ( 1 – 310 ) / ( 1 – 3 )

S10 = 2 ( -59048  ) / ( -2 )

S10 = 59048
2. Perhatikan deret bilangan geometri berikut:

2 + 6 + 18 + 54 + . . . . .+ 1458 , tentukan Sn !

Penyelesaian :

Diketahui : a = 2 dan r = 3

Jawab :

Langkah pertama mencari n terlebih dahulu , yaitu dengan cara :

Un = a.rn-1

1458  = 2 . 3n-1

1458 /2 = 3n-1

729 = 3n-1

36 = 3n-1

n – 1 = 6

n = 7

Selanjutnya , tinggal masukkan ke dalam rumus :

Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r

S7 = 2 ( 1- 37 ) / 1- 3

S7 = 2 ( 1-2187 ) / -2

S7 = 2187

Contoh Soal Deret Aritmatika.

Contoh 1


Sebuah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + … , tentukan jumlah 20 suku pertama deret tersebut

Jawaban

B = U2 – U1 = 9 – 4 = 5

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

S20 = 20/2 (2(4) + (20-1)5)

= 10 (8 + 95)

= 10(103)

= 1030

Jadi jumlah dari 20 suku pertama deret tersebut adalah 1030.

Contoh 2

Tentukan jumlah seluruh bilangan ganjil antara 50 dan 150

Jawaban

Untuk menjawab soal di atas kita harus membuat bentuk deret dari soal tersebut yaitu

51 + 53 + 55 + … + 149

Dari deret di atas kita sudah bisa mengetahui

a = 51

b = 2

Un = 149

Setelah itu kita cari nilai n

Un = (a + (n-1)b)

149 = (51 + (n-1)2)

149 = (51 +(2n – 2))

149 = 2n + 49

2n = 149 – 49

2n = 100

n = 50

Karena nilai n sudah ketemu langsung kita masukkan ke rumus Sn

Sn = n/2 (a + Un)

S50= 50/2 (51 + 149)

= 25 (200)

= 5000

Jadi jumlah dari bilangan ganjil yang terletak di antara 50 sampai dengan 150 adalah 5000

Contoh 3


Suatu deret aritmatika dengan S15 = 465 dan S16 = 528. Tentukan U16 dari barisan aritmatika tersebut

Jawaban

Un = Sn – Sn-1

U16 = S16 – S15

       = 528 – 465

= 63

Jadi suku ke-16 dari barisan aritmatika di atas adalah 63

Thanks for reading & sharing berbagaireviews.com

Previous
« Prev Post

0 komentar:

Posting Komentar

Search

Translate

subscribe

Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Arsip Blog

Follow by Email

Facebook  Twitter  Google+  RSS Feed

RSS

Tayangan Halaman

Diberdayakan oleh Blogger.