Pengertian Deret Aritmetika (Deret Hitung).
Deret Bilangan.
Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku – suku barisan bilangan.
Diketahui barisan bilangan sebagai berikut
1, 3, 5, 7, 9, …
5, 10, 15, 20, …
2, 4, 8, 16, …
48, 40, 32, 24, …
Deret bilangan dari barisan bilangan tersebut adalah
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
5 + 10 + 15 + 20 + …
2 + 4 + 8 + 16 + …
48 + 40 + 32 + 24 + …
Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un
Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un
Bentuk seperti ini disebut deret bilangan .
Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan.
Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.
Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.
Deret aritmatika
Coba kamu perhatikan barisan aritmetika berikut.
3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , Un
Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut.
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + Un
Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika.
Contoh Soal Deret Aritmatika.
Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmetika dari barisan tersebut.
Jawab:
Barisan aritmetikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ..., Un
Deret aritmetikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + ... + Un
Rumus Deret Aritmatika.
Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut? Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya.
Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya.
Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka;
Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku - suku deret aritmetika adalah sebagai berikut.
Oleh karena Un = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut.
Macam - Macam Deret Bilangan.
Macam – macam deret bilangan yaitu :
1. Deret Bilangan Aritmatika.
Deret aritmatika , yaitu suatu jumlah dari suku – suku barisan bilangan aritmatika .
Jika a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .a+(n-1)b adalah barisan bilangan aritmatika maka bentuk dari deret aritmatika adalah a+ (a+b) + ( a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + . . . .
Rumus Jumlah deret aritmatika suku ke n adalah :
Sn = 1/2 n ( a+ Un ) atau Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
Keterangan :
Sn = jumlah suku ke n
n = Banyaknya suku
b = rasio atau beda
Macam – macam deret bilangan yaitu :
1. Deret Bilangan Aritmatika.
Deret aritmatika , yaitu suatu jumlah dari suku – suku barisan bilangan aritmatika .
Jika a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .a+(n-1)b adalah barisan bilangan aritmatika maka bentuk dari deret aritmatika adalah a+ (a+b) + ( a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + . . . .
Rumus Jumlah deret aritmatika suku ke n adalah :
Sn = 1/2 n ( a+ Un ) atau Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
Keterangan :
Sn = jumlah suku ke n
n = Banyaknya suku
b = rasio atau beda
Contoh soal deret bilangan aritmatika.
4 + 9 + 14 + 19 + . . .
Dari deret bilangan diatas , tentukan S30 = . . ?
Penyelesaian :
Diketahui : a = 4 , b = 5
Un = a + ( n – 1 ) b
U30 = 4 + ( 30 -1 ) 5
= 4 + 29.5
= 4 + 145
= 149
maka , S30 adalah :
Cara 1
Sn = 1/2 n ( a+ Un )
S30 = 1/2 . 30 ( 4 + 149 )
= 15 x 153
= 2295
Cara 2
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S30 = 1/2 30 [ 2.4 + ( 30 – 1 ) 5 ]
= 15 [ 8 + 29 .5 ]
= 15 ( 8 + 145 )
= 15 ( 153 )
= 2295
2. Tentukan nilai n dan sn dari deret aritmatika dibawah ini :
3 + 7 + 11 + 15 + . . .+ 199
Penyelesaian :
Diketahui : a = 3 , b = 4
Ditanya :
a.) n = . . .
b.) Sn = . . .
Jawab :
a.) Un = a + ( n -1 ) b
199 = 3 + ( n – 1 ) 4
199 = 3 + 4n -4
199 = -1 + 4n
200 = 4n
50 = n
b.) cara 1
Sn = 1/2 n ( a+ Un )
S50 = 1/2 .50 ( 3 + 199 )
= 25 ( 202 )
= 5050
Cara 2
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S50 = 1/2.50 [ 2.3 + ( 50 – 1 ) 4 ]
= 25 [ 6 + 49.4 ]
= 25 ( 6 + 196 )
= 25 ( 202 )
= 5050
3. Tentukan Sn , dari deret aritmatika berikut :
1 + 5 + 9 + 13 + . . . + U10
Penyelesaian :
Diketahui :
a = 1 , b = 4 , n = 10
Ditanya : Sn = . . . ?
Jawab :
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S10 = 1/2.10 [ 2.1 + ( 10 – 1 ) 4 ]
= 5 [ 2 + 9.4 ]
= 5 ( 2 + 36 )
= 190
4. Diketahui suatu deret aritmatika suku ke5 = 13 dan suku ke 9 = 21 . Tentukan :
a.) nilai a dan b
b.) U10
c.) S11
Penyelesaian ;
a.) U5 = 13 —> a + 4b = 13
U9 = 21 —> a+ 8b = 21 _
-4 b = -8
b = 2
a + 4b = 13
a + 4.2 = 13
a + 8 = 13
a = 5
b.) U10 = a + 9b
U10 = 5 + 9 .2
u10 = 5 + 18 = 23
c.) Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S11 = 1/2 .11 [ 2.5 + ( 11 – 1 ) 2 ]
S11 = 1/2 .11 [ 10 + 10.2 ]
S11 = 1/2.11 ( 30 )
S11 = 165
2. Deret Bilangan Geometri
Deret bilangan geometri , yaitu jumlah dari barisan bilangan geometri .
Jika bentuk barisan bilangan geometri adalah a , a.r , a.r2 , a.r3 , a.r4 , a.r5 . . . . a.rn-1 maka bentuk dari deret bilangan geometri adalah a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 . . . .a.rn-1
Jumlah n suku pertama dari deret geometri atau yang dilambangkan dengan Sn , adalah :
Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 . . . .a.rn-1
Apabila rumus di atas kita kalikan dengan r . maka akan menghasilkan rums sebagai berikut :
rSn = a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 + a.r6. . . .a.rn-1 + a.rn
Dari kedua persamaan diatas , kita kurangkan maka akan dihasilkan sebagai beriikut :
Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 . . . .a.rn-1
rSn = a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 + a.r6. . . .a.rn-1 + a.rn
Sn – rSn = a – a.rn
Sn ( 1 – r ) = a ( 1 – rn )
Sn = a – a rn / 1 – r
Sn = a ( 1 – rn ) / ( 1 – r )
Jadi , dapat kita simpulkan bahwa , rumus jumlah n suku pertama dalam deret geometri adalah :
Sn = a – a rn / 1 – r atau Sn = a ( 1 – rn) / 1 – r , dengan r ≠ 1
Contoh soal deret bilangan geometri.
1. Diketahui sebuah deret geoetri , dimana U3 = 18 , dan U6 = 486 . Tentukan :
a.) a dan r
b.) S10
Penyelesaian :
a.) U6 = 486 –> a.r 5= 486
U3 = 18 –> a.r2 = 18
U6 / U3 = 486 / 18 —–> a.r 5 / a.r2 = 486 / 18
r3 = 27
r = 3
a.r2 = 18
a.32 = 18
a.9 = 18
a = 2
b.) Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r
S10 = 2 ( 1 – 310 ) / ( 1 – 3 )
S10 = 2 ( -59048 ) / ( -2 )
S10 = 59048
2. Perhatikan deret bilangan geometri berikut:
2 + 6 + 18 + 54 + . . . . .+ 1458 , tentukan Sn !
Penyelesaian :
Diketahui : a = 2 dan r = 3
Jawab :
Langkah pertama mencari n terlebih dahulu , yaitu dengan cara :
Un = a.rn-1
1458 = 2 . 3n-1
1458 /2 = 3n-1
729 = 3n-1
36 = 3n-1
n – 1 = 6
n = 7
Selanjutnya , tinggal masukkan ke dalam rumus :
Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r
S7 = 2 ( 1- 37 ) / 1- 3
S7 = 2 ( 1-2187 ) / -2
S7 = 2187
2 + 6 + 18 + 54 + . . . . .+ 1458 , tentukan Sn !
Penyelesaian :
Diketahui : a = 2 dan r = 3
Jawab :
Langkah pertama mencari n terlebih dahulu , yaitu dengan cara :
Un = a.rn-1
1458 = 2 . 3n-1
1458 /2 = 3n-1
729 = 3n-1
36 = 3n-1
n – 1 = 6
n = 7
Selanjutnya , tinggal masukkan ke dalam rumus :
Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r
S7 = 2 ( 1- 37 ) / 1- 3
S7 = 2 ( 1-2187 ) / -2
S7 = 2187
Contoh Soal Deret Aritmatika.
Contoh 1
Sebuah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + … , tentukan jumlah 20 suku pertama deret tersebut
Jawaban
B = U2 – U1 = 9 – 4 = 5
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S20 = 20/2 (2(4) + (20-1)5)
= 10 (8 + 95)
= 10(103)
= 1030
Jadi jumlah dari 20 suku pertama deret tersebut adalah 1030.
Contoh 2
Tentukan jumlah seluruh bilangan ganjil antara 50 dan 150
Jawaban
Untuk menjawab soal di atas kita harus membuat bentuk deret dari soal tersebut yaitu
51 + 53 + 55 + … + 149
Dari deret di atas kita sudah bisa mengetahui
a = 51
b = 2
Un = 149
Setelah itu kita cari nilai n
Un = (a + (n-1)b)
149 = (51 + (n-1)2)
149 = (51 +(2n – 2))
149 = 2n + 49
2n = 149 – 49
2n = 100
n = 50
Karena nilai n sudah ketemu langsung kita masukkan ke rumus Sn
Sn = n/2 (a + Un)
S50= 50/2 (51 + 149)
= 25 (200)
= 5000
Jadi jumlah dari bilangan ganjil yang terletak di antara 50 sampai dengan 150 adalah 5000
Contoh 3
Suatu deret aritmatika dengan S15 = 465 dan S16 = 528. Tentukan U16 dari barisan aritmatika tersebut
Jawaban
Un = Sn – Sn-1
U16 = S16 – S15
= 528 – 465
= 63
Jadi suku ke-16 dari barisan aritmatika di atas adalah 63
Contoh 1
Sebuah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + … , tentukan jumlah 20 suku pertama deret tersebut
Jawaban
B = U2 – U1 = 9 – 4 = 5
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S20 = 20/2 (2(4) + (20-1)5)
= 10 (8 + 95)
= 10(103)
= 1030
Jadi jumlah dari 20 suku pertama deret tersebut adalah 1030.
Contoh 2
Tentukan jumlah seluruh bilangan ganjil antara 50 dan 150
Jawaban
Untuk menjawab soal di atas kita harus membuat bentuk deret dari soal tersebut yaitu
51 + 53 + 55 + … + 149
Dari deret di atas kita sudah bisa mengetahui
a = 51
b = 2
Un = 149
Setelah itu kita cari nilai n
Un = (a + (n-1)b)
149 = (51 + (n-1)2)
149 = (51 +(2n – 2))
149 = 2n + 49
2n = 149 – 49
2n = 100
n = 50
Karena nilai n sudah ketemu langsung kita masukkan ke rumus Sn
Sn = n/2 (a + Un)
S50= 50/2 (51 + 149)
= 25 (200)
= 5000
Jadi jumlah dari bilangan ganjil yang terletak di antara 50 sampai dengan 150 adalah 5000
Contoh 3
Suatu deret aritmatika dengan S15 = 465 dan S16 = 528. Tentukan U16 dari barisan aritmatika tersebut
Jawaban
Un = Sn – Sn-1
U16 = S16 – S15
= 528 – 465
= 63
Jadi suku ke-16 dari barisan aritmatika di atas adalah 63
Tidak ada komentar:
Posting Komentar