Berbagai Reviews: Mathematics

Kumpulan Artikel Pendidikan Pengetahuan dan Wawasan Dunia

Tampilkan postingan dengan label Mathematics. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Mathematics. Tampilkan semua postingan

7 Agustus 2018

Deret aritmatika, Deret Bilangan, Rumus Deret Aritmatika, Contoh Soal Deret Aritmatika, Deret Aritmatika dan Bilangan Geometri, Arithmetic Progression.

Deret aritmatika, Deret Bilangan, Rumus Deret Aritmatika, Contoh Soal Deret Aritmatika, Deret Aritmatika dan Bilangan Geometri, Arithmetic Progression.


Rumus - rumus deret arimatika dan deret bilangan geometri - berbagaireviews.com
Pengertian Deret Aritmetika (Deret Hitung).
Deret Bilangan.

Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku – suku barisan bilangan. 

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut

1, 3, 5, 7, 9, …
5, 10, 15, 20, …
2, 4, 8, 16, …
48, 40, 32, 24, …

Deret bilangan dari barisan bilangan tersebut adalah

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
5 + 10 + 15 + 20 + …
2 + 4 + 8 + 16 + …
48 + 40 + 32 + 24 + …

Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un

Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un

Bentuk seperti ini disebut deret bilangan .
Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan.
Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.

Deret aritmatika
Coba kamu perhatikan barisan aritmetika berikut.

3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , Un

Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut.

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + Un
Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika.

Contoh Soal Deret Aritmatika.

Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmetika dari barisan tersebut.

Jawab:

Barisan aritmetikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ..., Un
Deret aritmetikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + ... + Un


Rumus Deret Aritmatika.

Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut? Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya.

Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya.

Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka;
Deret aritmatika - berbagaireviews.com
 
Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku - suku deret aritmetika adalah sebagai berikut.


Rumus untuk menghitung jumlah suku deret aritmatika - berbagaireviews.com

Oleh karena Un = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut.

 
Rumus menghitung deret aritmatika - berbagaireviews.com
Macam - Macam Deret Bilangan.

Macam – macam deret bilangan yaitu :

1. Deret Bilangan Aritmatika.

Deret aritmatika , yaitu suatu jumlah dari suku – suku barisan bilangan aritmatika .

Jika a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .a+(n-1)b adalah barisan bilangan aritmatika maka bentuk dari deret aritmatika adalah a+ (a+b) + ( a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + . . . .

Rumus Jumlah deret aritmatika suku ke n  adalah :

Sn = 1/2  n ( a+ Un )  atau Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

Keterangan :

Sn = jumlah suku ke n

n = Banyaknya suku

b = rasio atau beda


Contoh soal deret bilangan aritmatika.


4 + 9 + 14 + 19 + . . .
Dari deret bilangan diatas , tentukan S30 = . . ?

Penyelesaian :

Diketahui : a = 4 , b = 5

Un = a + ( n – 1 ) b

U30 = 4 + ( 30 -1 ) 5

= 4 + 29.5

= 4 + 145

= 149

maka , S30 adalah :

Cara 1

Sn = 1/2  n ( a+ Un )

S30 = 1/2 . 30 ( 4 + 149 )

= 15 x 153

= 2295

Cara 2

Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S30 = 1/2 30 [ 2.4 + ( 30 – 1 ) 5 ]

= 15 [ 8 + 29 .5 ]

= 15 ( 8 + 145 )

= 15 ( 153 )

= 2295

2. Tentukan nilai n dan sn dari deret aritmatika dibawah ini :

3 + 7 + 11 + 15 + . . .+ 199

Penyelesaian :

Diketahui : a = 3 , b = 4

Ditanya :

a.) n = . . .

b.) Sn = . . .

Jawab :

a.) Un = a + ( n -1 ) b

199 = 3 + ( n – 1 ) 4

199 = 3 + 4n -4

199 = -1 + 4n

200 = 4n

50 = n

b.) cara 1

Sn = 1/2  n ( a+ Un )

S50 = 1/2 .50 ( 3 + 199 )

= 25 ( 202 )

= 5050

Cara 2

Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S50 = 1/2.50 [ 2.3 + ( 50 – 1 ) 4 ]

= 25 [ 6 + 49.4 ]

= 25 ( 6 + 196 )

= 25 ( 202 )

= 5050

3. Tentukan Sn , dari deret aritmatika berikut :

1 + 5 + 9 + 13 + . . . + U10

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 1 , b = 4 , n = 10

Ditanya : Sn = . . . ?

Jawab :

Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S10 = 1/2.10 [ 2.1 + ( 10 – 1 ) 4 ]

= 5 [ 2 + 9.4 ]

= 5 ( 2 + 36 )

= 190

4. Diketahui suatu deret aritmatika suku ke5 = 13 dan suku ke 9 = 21 . Tentukan :

a.) nilai a dan b

b.) U10

c.) S11

Penyelesaian ;

a.) U5 = 13 —> a + 4b = 13

U9 = 21 —> a+ 8b = 21   _

-4 b = -8

b = 2

a + 4b = 13

a + 4.2 = 13

a + 8 = 13

a = 5

b.) U10 = a + 9b

U10 = 5 + 9 .2

u10 = 5 + 18   =  23

c.) Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S11  = 1/2 .11 [ 2.5 + ( 11 – 1 ) 2 ]

 S11 = 1/2 .11 [ 10 + 10.2 ]

S11 = 1/2.11 ( 30 )

S11 = 165


2. Deret Bilangan Geometri

Deret bilangan geometri , yaitu jumlah dari barisan bilangan geometri .

Jika bentuk barisan bilangan geometri adalah  a , a.r , a.r2 , a.r3 , a.r4 , a.r5  . . . . a.rn-1 maka bentuk dari deret bilangan geometri adalah  a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  . . . .a.rn-1

Jumlah n suku pertama dari deret geometri atau yang dilambangkan dengan Sn , adalah :

Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  . . . .a.rn-1

Apabila rumus di atas kita kalikan dengan r . maka akan menghasilkan rums sebagai berikut :

rSn =   a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  + a.r6. . . .a.rn-1  + a.rn

Dari kedua persamaan diatas , kita kurangkan maka akan dihasilkan sebagai beriikut :

Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  . . . .a.rn-1

rSn =   a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  + a.r6. . . .a.rn-1  + a.rn

                                                                                                                                  
Sn – rSn = a –  a.rn

Sn ( 1 – r ) = a ( 1 – rn )

Sn =  a – a rn  / 1 – r

Sn = a ( 1 – rn ) / ( 1 – r )

Jadi , dapat kita simpulkan bahwa , rumus jumlah n suku pertama dalam deret geometri adalah :

Sn = a – a rn  / 1 – r atau Sn = a ( 1 – rn) / 1 – r  , dengan r  ≠ 1

Contoh soal deret bilangan geometri.

1. Diketahui sebuah deret geoetri , dimana U3 = 18 , dan U6 = 486 . Tentukan :
a.) a dan r

b.) S10

Penyelesaian :

a.) U6 = 486 –> a.r 5= 486

 U3      =     18  –>  a.r2  = 18

U6 / U3 = 486 / 18   —–>  a.r 5 /   a.r2  =  486 / 18

                                                     r3 = 27

                                                      r = 3

a.r2  = 18 

a.32  = 18

a.9 = 18

a = 2

b.) Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r

S10 = 2 ( 1 – 310 ) / ( 1 – 3 )

S10 = 2 ( -59048  ) / ( -2 )

S10 = 59048
2. Perhatikan deret bilangan geometri berikut:

2 + 6 + 18 + 54 + . . . . .+ 1458 , tentukan Sn !

Penyelesaian :

Diketahui : a = 2 dan r = 3

Jawab :

Langkah pertama mencari n terlebih dahulu , yaitu dengan cara :

Un = a.rn-1

1458  = 2 . 3n-1

1458 /2 = 3n-1

729 = 3n-1

36 = 3n-1

n – 1 = 6

n = 7

Selanjutnya , tinggal masukkan ke dalam rumus :

Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r

S7 = 2 ( 1- 37 ) / 1- 3

S7 = 2 ( 1-2187 ) / -2

S7 = 2187

Contoh Soal Deret Aritmatika.

Contoh 1


Sebuah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + … , tentukan jumlah 20 suku pertama deret tersebut

Jawaban

B = U2 – U1 = 9 – 4 = 5

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

S20 = 20/2 (2(4) + (20-1)5)

= 10 (8 + 95)

= 10(103)

= 1030

Jadi jumlah dari 20 suku pertama deret tersebut adalah 1030.

Contoh 2

Tentukan jumlah seluruh bilangan ganjil antara 50 dan 150

Jawaban

Untuk menjawab soal di atas kita harus membuat bentuk deret dari soal tersebut yaitu

51 + 53 + 55 + … + 149

Dari deret di atas kita sudah bisa mengetahui

a = 51

b = 2

Un = 149

Setelah itu kita cari nilai n

Un = (a + (n-1)b)

149 = (51 + (n-1)2)

149 = (51 +(2n – 2))

149 = 2n + 49

2n = 149 – 49

2n = 100

n = 50

Karena nilai n sudah ketemu langsung kita masukkan ke rumus Sn

Sn = n/2 (a + Un)

S50= 50/2 (51 + 149)

= 25 (200)

= 5000

Jadi jumlah dari bilangan ganjil yang terletak di antara 50 sampai dengan 150 adalah 5000

Contoh 3


Suatu deret aritmatika dengan S15 = 465 dan S16 = 528. Tentukan U16 dari barisan aritmatika tersebut

Jawaban

Un = Sn – Sn-1

U16 = S16 – S15

       = 528 – 465

= 63

Jadi suku ke-16 dari barisan aritmatika di atas adalah 63

28 Juni 2018

Bangun Datar dan Rumus - Rumus Luas serta Keliling Bangun Datar, Two-dimentional Figure.

Bangun Datar dan Rumus - Rumus Luas serta Keliling Bangun Datar, Two-dimentional Figure.


Bangun datar dan rumus luas serta keliling bangun datar - berbagaireviews.com



Bangun Datar dalam Matematika.

Bangun datar adalah sebutan bagi bangun-bangun dua dimensi, seperti lingkaran, belah ketupat, layang-layang, trapesium, jajar genjang, segitiga, persegi panjang dan persegi. Bangun datar terdiri dari berbagai bentuk seperti persegi, persegi panjang, segitiga, trapesium, layang-layang, belah ketupat, lingkaran dan lain lain.

Nah, karena setiap bangun memiliki bentuk berbeda maka untuk menyelesaiakan permasalahan / soal bangun datar maka harus tahu bagaimana rumus luas dan keliling bangun datar itu. Masing-masing dari bangun tersebut mempunyai rumus untuk menghitung luas dan keliling yang berbeda satu dengan yang lain.

Rumus - Rumus Bangun Datar.

Persegi.


Bangun datar persegi dan rumus luas serta keliling persegi - berbagaireviews.com

 Rumus luas persegi 

Luas = s x s

Rumus keliling persegi 

Keliling = 4 x s

Ket :

s = sisi

Persegi Panjang.


Bangun datar persegi panjang dan rumus luas serta keliling persegi panjang - berbagaireviews.com


Rumus luas persegi panjang.

Luas = p x l

Rumus keliling persegi panjang.
 
Keliling = 2 x ( p + l )

Ket :

p = panjang
l = lebar

Segitiga.


Bangun datar segitiga dan rumus luas serta keliling segitiga - berbagaireviews.com


Rumus luas segitiga.

Luas = 1/2 x a x t

Rumus keliling segitiga.
 
Keliling = sisi a + sisi b + sisi c

Ket :

a = alas
t = tinggi

Jajar Genjang.


Jajar Genjang dan rumus lus serta keliling jajar genjang - berbagaireviews.com



Rumus luas jajar genjang.

Rumus keliling jajar genjang.

 Luas = alas x tinggi

Rumus keliling jajar genjang

Keliling = 2 x (sisi a + sisi b)

Ket :

a = alas
t = tinggi

Layang – Layang.



Rumus luas layang – layang dan keliling layang - layang - berbagaireviews.com


Rumus luas layang – layang

Luas = 1/2 x d1 x d2

Keliling layang - layang

Keliling = 2 x (sisi a + sisi b)

Ket :

d1 = diagonal 1
d2 = diagonal 2

Belah Ketupat.


Bangun datar belah ketupak dan rumus luas serta keliling belah ketupat - berbagaireviews.com


Rumus luas Belah Ketupat.

Luas = 1/2 x d1 x d2

Rumus keliling belah ketupat.

Keliling = 4 x sisi

Ket :

d1 = diagonal 1
d2 = diagonal 2

Trapesium.


Trapesium dan rumus luas serta keliling trapesium - berbagaireviews.com


Rumus luas  trapesium.


Luas = 1/2 x (a + c) x t

Rumus Keliling trapesium.

Keliling = sisi a +sisi b +sisi c +sisi d

Ket :

a = alas
c = sisi yang sejajar dengan alas.

Lingkaran.


Lingkaran dan rumus luas serta keliling lingkaran - berbagaireviews.com


Rumus luas 

Luas = π x r x r

Rumus keliling lingkaran  

Keliling = 2 x π x r = π x d

Ket :

r = jari – jari
c = diameter
Rumus Volume Bangun Ruang dan Contoh Soal Mencari Volume Bangun Ruang serta Gambar, The Volume of Wake Space.

Rumus Volume Bangun Ruang dan Contoh Soal Mencari Volume Bangun Ruang serta Gambar, The Volume of Wake Space.



Bangun Ruang dalam Matematika.

Bangun Ruang merupakan bangun dimensi tiga yang mempunyai ruang. Rumus yang berlaku di bangun tersebut dinamankan rumus bangun ruang. Banyak rumus bangun ruang yang belaku di dalamnya, salah satunya rumus volume. Berikut daftar rumus volume bangun ruang.

Bangun ruang berbeda dengan bangun datar didalam menentukan rumusnya , yaitu tergantung dari bentuk bangun masing-masing. Secara umum bentuk dari bangun ruang seperti kubus dkk adalah 3 dimensi yang mempunyai isi atau volume berbeda dengan bangun datar yang hanya 2 dimensi.

Bangun ruang adalah bangun Matematika yang memiliki isi atau volume. Selain memiliki volume, bangun ruang juga memiliki luas permukaan. Dan berikut ini adalah rumus volume bangun ruang yang meliputi balok, kubus, prisma tegak segitiga, limas segi tiga, limas segi empat, tabung, kerucut, dan bola.

Setelah mempelajari macam-macam bangun ruang dan sifat-sifatnya, tentunya kita juga ingin mempelajari cara menghitung volume nya. Dan berikut ini adalah rumus volume bangun ruang lengkap disertai dengan contoh soal dan jawabannya.

Balok.
Balok dan Rumus volume balok - berbagaireviews.com


Rumus volume balok.

Volume Balok = Luas alas x tinggi  

Volume Balok = p x l x t

Contoh soal mencari volume balok.

Diketahui panjang balok= 14 cm , lebar= 10 cm, tinggi= 8 cm. Hitunglah volume nya !

V = p x l x t

    =14 cm x 10 cm x 8 cm

    = 1.120 cm ³

Kubus.


Kubus dan Rumus Volume Kubus - berbagaireviews.com


Rumus volume kubus 

Volume Kubus = rusuk x rusuk x rusuk (R³) 

Rusuk disebut juga sisi (s)

Contoh soal mencari volume kubus.

Diketahui rusuk kubus 8 cm. Hitunglah volume nya !

V = rusuk x rusuk x rusuk

   = 8 cm x 8 cm x 8 cm

   = 512 cm³

Prisma Tegak Segitiga.



Rumus Volume prisma segitiga.

Volume Prisma Tegak Segitiga = Luas alas x tinggi

Volume Prisma Tegak Segitiga = (1/2 x a x tinggi segitiga) x tinggi prisma

Contoh soal mencari volume prisma segitiga.

Diketahui sebuah prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 6 cm dan 8 cm. Tinggi prisma 12 cm. Hitunglah volume nya !

V = (1/2 x a x tinggi segitiga) x tinggi prisma

  = (1/2 x 6 cm x 8 cm) x 12 cm

  = 288 cm³

Limas Segitiga.
Limas Segitiga dan Rumus Volume Limas Segitiga - berbagaireviews.com

Rumus volume limas segitiga.
Volume Limas Segitiga = 1/3 x luas alas x tinggi

Volume Limas Segitiga = 1/3 x (1/2 x a x t.segitiga) x t.limas

Contoh soal mencari limas segitiga.

Berdasarkan gambar. Diketahui sebuah limas memiliki alas berbentuk segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisinya 6 cm dan lebar 8 cm. Tinggi limas 15 cm. Hitunglah volume nya !

V = 1/3 x luas alas x tinggi

  = 1/3 x ( 1/2 x 6 x 8) x 15

  =  1/3 x 24 x 15

 = 120 cm³

Limas Segi Empat.

Limas Segi Empat dan Rumus Volume Limas Segi Empat - berbagaireviews.com
Rumus volume limas segi empa
Volume limas segi empat = 1/3 x luas alas x tinggi

Volume limas segi empat = 1/3 x (p x l) x tinggi limas

Contoh soal mencari volume limas segi empat.

Sebuah limas T.ABCD memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan panjang AB=CD= 10 cm dan panjang AD=BC= 8 cm. Jika tinggi limas tersebut adalah 12 cm, tentukan volume limas tersebut !

V = 1/3 x (p x l) x tinggi limas

   = 1/3 x (10 cm x 8 cm) x 12 cm

  = 320 cm³

Bangun Ruang Tabung.
Tabung dan Rumus Volume Tabung - berbagaireviews.com

Rumus volume tabung 
Volume tabung = luas alas x tinggi

Volume tabung = π x r² x t

π  (phi) = 22/7 atau 3,14

r = jari-jari alas tabung

t = tinggi tabung

d = diameter/ garis tengah = 2 x r

Contoh soal mencari volume tabung.

Diketahui diameter alas tabung 28 cm, tinggi tabung 35 cm. Hitunglah volumenya !

Diameter alas tabung = 28 cm. Berarti jari-jari (r) = 28 : 2 = 14 cm

V = π x r² x t
   = 22/7 x 14 cm x 14 cm x 35 cm
  = 21.560 cm³

Bangun Ruang Kerucut.

Rumus volume kerucut.
Volume kerucut = 1/3 x luas alas x tinggi kerucut 

Volume Kerucut = 1/3 x π x r² x t

Contoh soal mencari volume kerucut.

Sebuah benda berbentuk kerucut memiliki jari-jari 21 cm dan tingginya 35 cm. Hitunglah volumenya !

V = 1/3 x π x r² x t
  = 1/3 x 22/7 x 21 cm x 21 cm x 35 cm
  = 16.170 cm³

Bangun Ruang Bola.


Rumus volume bola dan Contoh Soal volume bola - berbagaireviews.com
Rumus volume bola
Volume Bola = 4/3 x  π x r³

Contoh soal mencari volume bola.

Sebuah bola plastik memiliki diameter 21 cm. Hitunglah volume udara pada bola plastik tersebut !

Diameter bola 21 cm. Berarti jari-jarinya 10,5 cm
V = 4/3 x  π x r³
   = 4/3 x 22/7 x 10,5 cm x 10,5 cm x 10,5 cm
  = 4.851 cm³

26 Juni 2018

Resultan Vektor, Pengertian, Metode Menentukan, Pejumlahan, Contoh - Contoh Soal Resultan Vektor, Resultant Vector.

Resultan Vektor, Pengertian, Metode Menentukan, Pejumlahan, Contoh - Contoh Soal Resultan Vektor, Resultant Vector.

Ketika perahu layar mencoba untuk bergerak lurus, tiba-tiba angin dan ombak lautan menghambat perjalanan sehingga Anda tidak dapat mencapai tujuan dengan tepat. Untuk dapat sampai di tempat tujuan, Anda harus mengubah arah pergerakan perahu layar Anda dan memperkirakan arah gerak angin dan ombak tersebut. Begitu pun jika Anda berenang di sungai yang memiliki aliran yang kuat, Anda perlu berjuang melawan arus aliran sungai agar dapat mencapai tujuan yang Anda inginkan. Besarnya kecepatan arus aliran sungai dapat menentukan seberapa jauh penyimpangan Anda ketika berenang. Untuk lebih memahami materi mengenai vektor, pelajarilah bahasan-bahasan berikut ini dengan saksama.


Resultan vektor - berbagaireviews.com


Pengertian Vektor.

besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Dalam ilmu Fisika, banyak besaran yang termasuk vektor, di antaranya perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan momentum. Selain besaran vektor, ada juga besaran yang hanya memiliki nilai. Besaran seperti ini disebut besaran skalar. Besaran yang termasuk besaran skalar, di antaranya massa, waktu, kuat arus, usaha, energi, dan suhu. Sebuah vektor digambarkan oleh sebuah anak panah. Panjang anak panah mewakili besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah mewakili arah vektor. Notasi atau simbol sebuah vektor dapat menggunakan satu atau dua huruf dengan tanda panah di atasnya, misalnya.

Akan tetapi, dalam buku ini, vektor digambarkan oleh sebuah huruf yang dicetak tebal dan miring, misalnya A atau B. Gambar 1. menunjukkan gambar beberapa vektor dengan notasinya. 


 
Gambar  contoh notasi vektor.

Titik A disebut titik pangkal vektor dan titik B disebut ujung vektor. Besar sebuah vektor dapat ditulis dengan beberapa cara, di antaranya dengan memberi tanda mutlak (||) atau dicetak miring tanpa ditebalkan. Sebagai contoh, besar vektor A ditulis |A|atau A dan besar vektor B ditulis |B|atau B. Arah sebuah vektor dinyatakan oleh sudut tertentu terhadap arah acuan tertentu. Umumnya, sudut yang menyatakan arah sebuah vektor dinyatakan terhadap sumbu-x positif. Gambar 2. memperlihatkan tiga buah vektor A, B, dan C dengan arah masing-masing membentuk sudut 45°, 90°, dan 225° terhadap sumbu-x positif.



 Arah vektor sudut terhadap sumbu positif - berbagaireviews.com
Gambar Arah vektor dinyatakan oleh sudut yang dibentuknya terhadap sumbu positif.

Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Grafis dan Analitis.

Pernahkah Anda membayangkan jika Anda berenang di sungai searah dengan aliran sungai, kemudian Anda tiba-tiba berbalik arah 90° dari arah pergerakan semula? Apakah posisi terakhir Anda tepat sesuai keinginan Anda? Tentu tidak, arah akhir posisi Anda tidak akan membentuk sudut 90° dari posisi semula karena terdapat hambatan arus sungai yang membuat arah gerak Anda tidak tepat atau menyimpang. Anda dapat menentukan posisi akhir Anda dengan cara menjumlahkan vektor gerak Anda, baik perpindahannya maupun kecepatannya. Apakah Anda mengetahui cara menjumlahkan dua buah vektor?

Penjumlahan vektor tidak sama dengan penjumlahan skalar. Hal ini karena vektor selain memiliki nilai, juga memiliki arah. Vektor yang diperoleh dari hasil penjumlahan beberapa vektor disebut vektor resultan.

Metode - Metode untuk menentukan vektor resultan.

1. Resultan Dua Vektor Sejajar.

Misalnya, Anda bepergian mengelilingi kota Palu dengan mengendarai sepeda motor. Dua jam pertama, Anda bergerak lurus ke timur dan menempuh jarak sejauh 50 km. Setelah istirahat secukupnya, Anda kembali melanjutkan perjalanan lurus ke timur sejauh 30 km lagi. Di lihat dari posisi asal, Anda telah berpindah sejauh sejauh 50 km + 30 km = 80 km ke timur. Dikatakan, resultan perpindahan Anda adalah 80 km ke timur. Secara grafis, perpindahan Anda seperti diperlihatkan pada Gambar dibawah ini.
Menjumlahkan dua vektor searah.


Menjumlahkan dua vektor searah - berbagaireviews.com
Gambar Menjumlahkan dua vektor searah.

Sedikit berbeda dengan kasus tersebut, misalnya setelah menempuh jarak lurus 50 km ke timur, Anda kembali lagi ke barat sejauh 30 km. Relatif terhadap titik asal, perpindahan Anda menjadi 50 km – 30 km = 20 km ke timur. Secara grafis, perpindahan Anda diperlihatkan pada Gambar di bawah ini.


Menjumlahkan dua vektor berlawanan arah - berbagaireviews.com
Gambar  Menjumlahkan dua vektor berlawanan arah.

Dari kedua contoh, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3. dan Gambar 4, menjumlahkan dua buah vektor sejajar mirip dengan menjumlahkan aljabar biasa. Secara matematis, resultan dua buah vektor sejajar, yakni, sebagai berikut. Jika vektor A dan B searah, besar vektor resultan R, adalah

R = |A+B|         (1-1)

dengan arah vektor R sama dengan arah vektor A dan B. Sebaliknya, jika kedua vektor tersebut berlawanan, besar resultannya adalah

R = |A-B|         (1-2)

dengan arah vektor R sama dengan arah vektor yang terbesar.

2. Resultan Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus.

Misalnya, Anda memacu kendaraan Anda lurus ke timur sejauh 40 km dan kemudian berbelok tegak lurus menuju utara sejauh 30 km. Secara grafis, perpindahan Anda seperti diperlihatkan pada Gambar dibawah ini

dan arahnya terhadap sumbu-x positif (atau 37° dari arah timur).

Dari contoh kasus tersebut, jika dua buah vektor, A dan B, yang saling tegak lurus akan menghasilkan vektor resultan, R, yang besarnya :


Resultan Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus - berbagaireviews.com

Gambar Menjumlahkan dua vektor yang saling tegak lurus.

Besar resultan perpindahannya, r, diperoleh menggunakan Dalil Pythagoras, yakni sebagai berikut :

Dengan arah terhadap arah vektor A dengan catatan vektor B searah sumbu-y dan vektor A searah sumbu-x.

3. Resultan Dua Vektor yang Mengapit Sudut.

Sekarang tinjau dua buah vektor, A dan B, yang satu sama lain mengapit sudut seperti yang diperlihatkan pada Gambar 6 (a). Gambar vektor resultannya dapat diperoleh dengan cara menempatkan pangkal vektor B di ujung vektor A. Selanjutnya, tarik garis dari titik pangkal vektor A ke titik ujung vektor B dan buatkan panah tepat di ujung yang berimpit dengan ujung vektor B. Vektor inilah, R, resultan dari vektor A dan B. Hasilnya seperti diperlihatkan pada Gambar di bawah ini.


Resultan Dua Vektor yang Mengapit Sudut - berbagaireviews.com

Gambar  :
(a) Vektor A dan vektor B mengapit sudut.
(b) Menggambarkan vektor resultan dari vektor A dan vektor B.

Besar vektor resultan, R, dapat ditentukan secara analitis sebagai berikut.

Perhatikan Gambar di bawah. Vektor C dan D diberikan sebagai alat bantu sehingga vektor A + C tegak lurus vektor D dan ketiganya membentuk resultan yang sama dengan resultan dari vektor A dan B, yakni R.

 
Menentukan besar resultan dua buah vektor secara analitis - berbagaireviews.com

Gambar  Menentukan besar resultan dua buah vektor secara analitis.

Dengan menggunakan Dalil Pythagoras, besarnya vektor resultan R adalah
Selanjutnya, juga dengan menggunakan Dalil Pythagoras, dari gambar diperoleh :

C2 + D2 = B2

dan dari trigonometri,Dengan memasukkan dua persamaan terakhir ke persamaan pertama, diperoleh besarnya vektor resultan R.

4. Selisih Dua Vektor yang Mengapit Sudut.

Vektor A dan vektor -A, memiliki besar yang sama, yakni |A| = |–A| = A, tetapi arahnya berlawanan seperti diperlihatkan pada Gambar 8.
Vektor A Negatif dari sebuah vektor A


Vektor A Negatif dari sebuah vektor A - berbagaireviews.com
 Gambar Vektor A Negatif dari sebuah vektor A.

Selisih dari dua buah vektor, misalnya vektor A – B, secara grafis sama dengan jumlah antara vektor A dan vektor –B, seperti diperlihatkan pada Gambar di bawah ini. 


Selisih Dua Vektor yang Mengapit Sudut - berbagaireviews.com
Gambar 9. Selisih dua buah vektor.

Secara matematis, vektor selisihnya ditulis R = A – B.

Secara analitis, besar vektor selisihnya ditentukan dari Persamaan (1–5) dengan mengganti θ dengan 180–θ. Oleh karena, cos (180° – θ ) = –cosθ sehingga diperoleh :

Catatan Fisika :

cos (180 – θ ) = –cosθ. Hal ini dikarenakan cos (180 – θ) sama dengan cos(180) cosθ + sin (180) sin θ di mana nilai cos (180) = –1 dan nilai sin (180) = 0.Bagaimana jika cos (180 + θ )? Apakah sama dengan –cosθ ?

5. Melukis Resultan Beberapa Vektor dengan Metode Poligon

Jika terdapat tiga buah vektor, A, B, dan C, yang besar dan arahnya berbeda seperti diperlihatkan pada Gambar 10 (a), resultannya dapat diperoleh dengan cara menggunakan metode poligon, yakni sebagai berikut.
 
  • Hubungkan titik tangkap vektor B pada ujung vektor A dan titik pangkal vektor C pada ujung vektor
  • B.Buat vektor resultan, R, dengan titik tangkap sama dengan titik pangkal vektor A dan ujung panahnya tepat di titik ujung vektor C.

Hasilnya seperti diperlihatkan pada Gambar 10 (b).


Menggambarkan resultan beberapa vektor dengan metode poligon - berbagaireviews.com
Gambar Menggambarkan resultan beberapa vektor dengan metode poligon.

Secara matematis, vektor resultan pada Gambar 10. ditulis sebagai berikut.

R = A + B + C
 
6. Vektor Nol.

Vektor nol adalah vektor hasil penjumlahan beberapa buah vektor yang hasilnya nol. Sebagai contoh, lima buah vektor, A, B, C, D, dan E, menghasilkan resultan sama dengan nol maka secara matematis ditulis

A + B + C + D + E = 0

Dengan menggunakan metode poligon, secara grafis vektor-vektor tersebut diperlihatkan seperti pada Gambar 11. Perhatikan bahwa ujung vektor terakhir (vektor E) bertemu kembali dengan titik pangkal vektor pertama (vektor A).


Penjumlahan lima buah vektor yang menghasilkan vektor nol - berbagaireviews.com

Gambar Penjumlahan lima buah vektor yang menghasilkan vektor nol.

 
Contoh Vektor Nol.

Contoh pertama:

misalkan terdapat 3 buah vektor, yaitu a, b dan c menghasilkan resultan sama dengan nol. Maka secara matematis, resultan hasil penjumlahannya dirumuskan sebagai berikut:

a + b + c = 0

Dan dengan menggunkan metode grafis dalam hal ini adalah metode segitiga, maka ketiga vektor tersebut digambarkan sebagai berikut:


Contoh vektor nol dengan 3 buah vektor - berbagaireviews.com

contoh vektor nol 

Contoh kedua:

Misalkan terdapat 5 buah vektor, yaitu p, q, r, s dan t menghasilkan resultan sama dengan nol. Maka secara matematis, resultan hasil penjumlahannya dirumuskan sebagai berikut:

p + q + r + s + t = 0

denga n menggunakan metode poligon, secara grafis vektor-vektor tersebut digambarkan sebagai berikut:

 

Contoh Vektor Nol dengan 5 buah vektor - berbagaireviews.com


contoh vektor nol dengan terdapat 5 buat vektor.


Contoh Soal 1 :

Dua buah vektor satu sama lain membentuk sudut 60°. Besar kedua vektor tersebut sama, yakni 5 satuan. Tentukanlah :

a. resultan, dan
b. selisih kedua vektor tersebut.
 
Jawaban :

Misalnya, kedua vektor tersebut adalah A dan B. Besarnya, A = B = 5 dan sudutnya θ = 60°. Dengan menggunakan Persamaan (2–5) dan (2–6), diperoleh :

a. resultannya

b. selisihnya
 
Menjumlahkan Vektor dengan Metode Uraian

Dalam beberapa kasus, seringkali Anda menjumlahkan beberapa vektor yang lebih dari dua buah. Secara grafis, metode yang digunakan adalah metode poligon, seperti yang telah disinggung sebelumnya. Akan tetapi, bagaimanakah cara menentukan besar dan arah vektor resultannya? Salah satu metode yang digunakan adalah metode uraian, seperti yang akan di bahas pada sub-subbab berikut ini.
 
Menguraikan Vektor Menjadi Vektor Komponennya.

Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus. Vektor-vektor baru hasil uraian disebut vektor-vektor komponen. Ketika sebuah vektor telah diuraikan menjadi vektor-vektor komponennya, vektor tersebut dianggap tidak ada karena telah diwakili oleh vektor-vektor komponennya. Sebagai contoh, ketika Anda menguraikan sekarung beras 50 kg menjadi dua karung dengan masing-masing 20 kg dan 30 kg, apakah karung yang berisi 50 kg tetap ada?


Menguraikan vektor menjadi vektor komponen tegak lurus - berbagaireviews.com

Gambar Menguraikan sebuah vektor menjadi dua vektor komponen yang saling tegak lurus.

Gambar di atas memperlihatkan sebuah vektor A yang diuraikan menjadi dua buah vektor komponen, masing-masing berada pada sumbu-x dan sumbu-y. Ax adalah komponen vektor A pada sumbu-x dan Ay adalah komponen vektor A pada sumbu-y. Dengan mengingat definisi sin θ dan cos θ dari trigonometri, besar setiap komponen vektor A dapat ditulis sebagai berikut.

Ax = A cos θ dan Ay = A sinθ        (1-7)

Sementara itu, dengan menggunakan Dalil Pythagoras diperoleh hubungan Selanjutnya, hubungan antara Ax dan Ay diberikan 

Contoh Soal 2

Sebuah vektor panjangnya 20 cm dan membentuk sudut 30° terhadap sumbu-x positif seperti diperlihatkan pada gambar.


Menentukan komponen - komponen vektor pada sumbu x dan sumbu y - berbagaireviews.com


Tentukanlah komponen - komponen vektor tersebut pada sumbu-x dan sumbu-y.
 
Jawaban :

Gunakan Persamaan (1–7) maka diperoleh :

Ax = Acos30 derajat

Menjumlahkan Vektor Melalui Vektor-Vektor Komponennya.

Menjumlahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat kartesius. Metode seperti ini disebut metode uraian.

Berikut adalah tahapan-tahapan untuk mencari besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian.
  • Buat koordinat kartesius x-y.
  • Letakkan titik tangkap semua vektor pada titik asal (0,0). Hati-hati, arah vektor tidak boleh berubah.
  • Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu-x atau sumbu-y, menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x dan sumbu-y.
  • Tentukanlah resultan vektor-vektor komponen pada setiap sumbu,
misalnya :

x ΣR = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-x.
y ΣR = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-y.
 
Besar vektor resultannya dan arahnya terhadap sumbu-x positif

Contoh Soal 3

Tiga buah vektor gaya masing-masing besarnya F1 = 10 N, F2 = 30 N, dan F3 = 20 N. Arah ketiga vektor tersebut ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah resultan ketiga vektor tersebut (besar dan arahnya).


Contoh soal resultan ketiga vektor pada sumbu x dan sumbu y - berbagaireviews.com


Jawaban :

Diketahui: F1 = 10 N, F2 = 30 N, dan F3 = 20 N.

Uraian setiap vektor pada sumbu-x dan sumbu-y, seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini.


Contoh soal resultan vektor pada sumbu x dan sumbu y - berbagaireviews.com

 
vektor pada sumbu-x dan sumbu-y

Besar komponen-komponen setiap vektornya adalah:

F1x = F1 cos 37° = 10 N × 0,8 = 8 N
F1y = F1 sin 37° = 10 N × 0,6 = 6 N
F2x = F2 cos 53° = 30 N × 0,6 = 18 N
F2x = F2 sin 53° = 30 N × 0,8 = 24 N
F3x = F3 sin 37° = 20 N × 0,6 = 12 N
F3x = F3 cos 37° = 20 N × 0,8 = 16 N

Resultan pada sumbu-x dan sumbu-y masing-masing:

ΣRx = F1x – F2x – F3x = 8 – 18 – 12 = –22 N
ΣRy = F1y – F2y – F3y = 6 + 24 – 12 = 18 N

Dengan demikian, besar resultan ketiga vektor tersebut adalah :

dengan arahnya terhadap sumbu-x positif.

Contoh Soal 4

Ditentukan dua buah vektor yang sama besarnya, yaitu F. Bila perbandingan antara besar jumlah dan selisih kedua vektor sama dengan 3 maka sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut adalah ....

Jawaban :

Diketahui dua buah vektor besarnya = F

Besar selisih kedua vektor adalah :

Jika perbandingan nilai R1 dan R2 adalah maka sudut θ dapat dihitung sebagai berikut :
2F2 + 2F2 cosθ = 6F2 – 6F2 cosθ
8F2 cosθ = 4F2
cosθ = 1/2
θ = 60°

Contoh Soal 5 :


Tiga vektor masing-masing F1 = 10 N, F2 = 16 N, dan F3 = 12 N, disusun seperti pada gambar. Jika α = 37°, besar resultan ketiga vektor adalah ....


Contoh soal resultan vektor - berbagaireviews.com

Resultan ketiga vektor....

Jawaban :

Diketahui: F1 = 10 N, F2 = 16 N, dan F3 = 12 N.

Besar komponen pada sumbu- F1 = F1 cosα = 10 cos 37° = 8 N
F2 = 16 N
F3 = 0 N

Besar komponen pada sumbu- F1 = F1 sinα = 10 sin 37° = 6 N
F2 = 0 N
F3 = 12 N

ΣF = 8 – 16 + 0 = 8
ΣF = 6 + 0 – 12  = – 6

23 Juni 2018

Persegi dalam Matematika Lengkap), Rumus - Rumus Persegi dan Contoh Soal Persegi, Square in Mathematics

Persegi dalam Matematika Lengkap), Rumus - Rumus Persegi dan Contoh Soal Persegi, Square in Mathematics

Pada kehidupan sehari-hari seringkali kita jumpai bangun datar yang berbentuk persegi dengan keempat sisinya yang sama. Seperti balok - balok beton pada dinding rumah dan sebagainya. di kedua sisi nya tentu memiliki ukuran panjang yang sama.








Persegi dalam Matematika, Rumus - Rumus Persegi dan Contoh Soal Persegi - berbagaireviews.com


Pengertian Persegi.

Persegi adalah salah satu jenis bangun datar dua dimensi yang di bentuk oleh empat buah rusuk yang panjangnya sama  dan mempunyai empat sudut yang semuanya merupakan sudut siku-siku

Persegi Matematika ini adalah suatu Bangun Segi Empat yg mempunyai empat buah sisi yang sama panjang dan empat sudut siku – siku yang dapat menempati suatu bingkainya dengan Delapan Cara. Persegi Metematika ini termasuk kedalam Bangun Datar Matematika.

Dengan Sifat – Sifat Persegi yg cukup sama (hampir sama) dg Sifat Bangun Datar Persegi Panjang, karena didalam Sifat – Sifat Persegi ini antara lain semua sifat bangun datar persegi panjang sama dg Sifat Bangun Datar Persegi, semua Sisi Persegi itu sama panjang, sudut – sudut bangun datar persegi jika dibagi 2 maka akan sama besar oleh Diagonal2 nya dan Diagonal2 persegi akan saling berpotongan sama panjang dg membentuk sudut siku – siku.

Rumus - Rumus Persegi

Rumus Luas Persegi Matematika
Untuk Rumus Menghitung Luas Persegi dan Contoh Soal Persegi bisa kalian lihat dibawah ini
Rumus untuk menghitung luas persegi adalah
L = s² atau Luas Persegi = sisi x sisi
Dimana :
L adalah luas
s adalah sisi persegi

Rumus Luas Persegi = s x s atau L = s²

Contoh Soal Mencari luas persegi matematika dengan rumus mencari luas persegi :

Jika terdapat sebuah Tempat yg mempunyai Bentuk Persegi dan tempat tersebut memiliki Sisi 10 m, maka berapakah Luas tempat tersebut ?

Jawaban :

L = s x s

L = 10 x 10

L = 100 m²

Sehingga Luas Tempat yang berbentuk Persegi tersebut sebesar 100 m².

Rumus Keliling Persegi Matematika

Kemudian untuk penjelasan mengenai Rumus Menghitung Keliling Persegi dan Contoh Soal Keliling Persegi bisa kalian lihat dibawah ini.

Rumus menghitung keliling persegi yaitu

K = 4.s atau Keliling Persegi = 4 x sisi
Dimana
K adalah keliling
s adalah ukuran sisi

Rumus Keliling Persegi = 4 x s (s : sisi – sisi)

Untuk
Rumus Mencari Panjang Sisi Persegi.

Rumus mencari panjang sisi persegi jika diketahui luas atau kelilingnya
Sehingga bila di tanyakan ukuran sisinya maka untuk mencari sisi

s = K/4 ( bila diketahui kelilingnya )

s = √L ( bila diketahui luasnya )

Contoh Soal Mencari Luas Dan Keliling Persegi.

1. Mencari Luas Dan Keliling Persegi Jika Diketahui Panjang Sisinya.

Sebuah kotak berbentuk persegi memiliki panjang sisi 15 cm, hitunglah luas dan keliling dari kotak tersebut!

Jawab:

Luas Persegi = sisi x sisi
Luas = 15 cm x 15 cm
Luas = 225 cm²

Keliling Persegi = 4 x sisi
Keliling = 4 x 15 cm
Keliling = 60 cm

Jadi, luas kotak adalah 225 cm² dan keliling kotak 60 cm.

2. Mencari Sisi Persegi Jika Diketahui Luasnya.

Jika diketahui luas sebuah persegi adalah 81 cm², hitunglah berapa panjang sisi persegi tersebut!

Diketahui:

L = 81 cm²

Ditanyakan:

s = ?

Jawab:

L = s x s

L = s²

s = √L (sisi = akar luas persegi)

s = √81

s = 9 cm

Jadi, panjang sisi persegi adalah 9 cm.

3. Menghitung Panjang Sisi Persegi Jika Diketahui Kelilingnya.

Sebidang sawah yang berbentuk persegi mempunyai keliling 400 m, hitunglah berapa panjang sisi sawah tersebut!

Diketahui:

K = 400 m

Ditanyakan:

s = ?

Jawab:

K = 4 x s

s = K : 4

s = 400 : 4

s = 100 m

Jadi, panjang sisi sawah tersebut adalah 100 m.

4. Menghitung Luas Persegi Jika Diketahui hanya Kelilingnya.

Sebuah jendela yang berbentuk persegi mempunyai keliling 200 cm, hitunglah berapa luas dari jendela tersebut?

Diketahui:

K = 200 cm

Ditanyakan:

L = ?

Jawab:

Pertama, kamu harus mencari panjang sisi jendela tersebut.

K = 4 x s

s = K : 4

s = 200 : 4

s = 50 cm

Setelah kamu mengetahui panjang sisinya, langkah selanjutnya carilah luas jendela tersebut

L = s x s

L = 50 x 50

L = 250 cm²

Jadi, luas jendela tersebut adalah 250 cm².

5. Mencari Keliling Persegi Jika Diketahui Luasnya.

Jika diketahui sebuah persegi mempunyai luas 64 cm², berapa keliling persegi tersebut!

Diketahui:

L = 64 cm²

Ditanyakan:

K = ?

Jawab:

Pertama, kamu harus mencari panjang sisi persegi tersebut.

L = s²

s = √L

s = √64

s = 8

Setelah kamu mengetahui panjang sisinya, langkah selanjutnya tinggal cari kelilingnya.

K = 4 x s

K = 4 x 8

K = 32 cm

Jadi, keliling persegi tersebut adalah 32 cm.

6. Menghitung Keliling Persegi Matematika.

Jika terdapat suatu tempat dengan berbentuk Persegi, yang mempunyai suatu Panjang Sisi 10 cm. Maka hitunglah Keliling Persegi tempat tersebut ?.

Jawabannya :

Keliling = 4 x s

Keliling = 4 x 10 cm

Keliling = 40 cm.

Sehingga Keliling Tempat berbentuk Persegi tersebut sebesar 40 cm.

Itu tadi rumus yang digunakan untuk mencari luas dan keliling persegi. Untuk lebih memahami rumus tersebut, berikut ini ada contoh soal yang bisa kamu pelajari.

22 Juni 2018

 Barisan Geometri, Pengertian, Contoh - Contoh, Soal - Soal Penyeleseian Barisan Geometri, Row of Mathematical Geometry.

Barisan Geometri, Pengertian, Contoh - Contoh, Soal - Soal Penyeleseian Barisan Geometri, Row of Mathematical Geometry.


Barisan Geometri dan Contoh - Contoh Soal Penyeleseiannya - berbagaireviews.com


Pengertian Barisan Geometri.

Barisan Geometri dapat didefinisikan sebagai barisan yang tiap-tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu.

Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi dua bagian, yaitu barisan arimetika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur). Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut ini.

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan.

Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r). Artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya.

Contoh Barisan Geometri.

untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan barisan geometri perhatikan contoh berikut:

3, 9, 27 , 81, 243, ...

barisan di atas adalah contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. maka bisa disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. rasio pada suatu barisan dapat dirumuskan menjadi:

r = ak+1/ak

dimana ak adalah sembarang suku dari barisan geometri yang ada. sementara ak+1 adalah suku selanjutnya setelah ak.

untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

Un = arn-1

dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.


Pelajari uraian geometri

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

Barisan Geometri uraian dan contoh soal - berbagaireviews.com

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

Contoh Barisan Geometri dan uraian - berbagaireviews.com

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu Berarti, bilangan tersebut merupakan barisan geometri.

Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap.
 Jika r bernilai lebih besar dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri naik. Adapun jika r lebih kecil dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri turun.
Rumus Barisan Geometri.

Sekarang, coba kamu perhatikan barisan bilangan geometri berikut.
U1, U2, U3, U5, U6, ..., Un – 1, Un

Dari barisan tersebut diperoleh
U1 = a
U2 = U1 × = a × r = ar
U3 = U2 × r = (a × r) × r = ar2
U4 = U3 × r = (a × r2) × r = ar3
U5 = U4 × r = (a × r3) × r = ar4
U6 = U5 × r = (a × r4) × r = ar5
...
Un =Un–1 ×r = (a × rn-2) × r =arn-1

Jadi, untuk mencari suku ke-n barisan geometri digunakan rumus sebagai berikut.


Rumus Barisan Geometri - berbagaireviews.com


Contoh - Contoh Soal Barisan Geometri dan Penyeleseainnya
Mari kita pelajari penggunaan rumus-rumus barisan geometri di atas dalam menyelesaikan soal:
Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri

Contoh Soal 1.

Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?

Penyelesaian:
a = 3
r = 4
n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5

Masukkan ke dalam rumus:
Un = arn-1
U5 = 3 x 45-1
U5 = 3 x 256 = 768 bakteri


Contoh 2.

Tentukan apakah barisan bilangan geometri berikut merupakan barisan geometri naik atau turun.



Contoh Soal Barisan Geometri.


Contoh Soal Barisan Geometri - berbagaireviews.com



31 Mei 2018

Soal Peluang pada Matematika Beserta Kunci Jawabannya, Mathematics.

Soal Peluang pada Matematika Beserta Kunci Jawabannya, Mathematics.

Soal Peluang pada Matematika beserta kuncinya jawabannya - berbagaireviews.com



Soal No.1.
Jika kita melempar sebuah dadu sebanyak satu kali, tentukan peluang munculnya mata dadu 4 ?

Pembahasan.
Banyaknya anggota/ruang sampel : n(s) = 6
Titik sampel mata dadu bernilai 4 : n(A) = 1
Rumus untuk mencari peluang munculnya mata dadu 4
P(A) = n(A)
n(S) ⇔ P(4) = 1/6
 Jadi, peluang munculnya mata dadu 4 adalah 1/6

Soal No.2.
Dua buah dadu dilempar bersama – sama.
Hitunglah peluang munculnya jumlah mata dadu 9 ?

Pembahasan:
Ruang Sampel (S) : {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), (4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
Dengan demikian diperoleh banyaknya anggota/ruang sampel : n(S) = 36
Titik sampel dua mata dadu berjumlah 9 : (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) → n(9) = 4
Peluang munculnya jumlah mata dadu 9
P(9) = 4/36
 P(9) = 1/9
 Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu 9 adalah : 1/9

Soal No.3.
Hitunglah peluang terambilnya kartu As dari sebuah permainan kartu bridge ?

Pembahasan:
Banyaknya anggota/ruang sampel : n(S) = 52
Titik sampel kartu as: n(A) = 4
Peluang terambilnya kartu As :
P(A) =  4/52 = 1/13
 Jadi, peluang terambilnya kartu As adalah : 1/13

Soal No.4
Jika kita memiliki sebuah dadu yang dilempar sebanyak satu kali. Berapa peluang muncul:
Mata dadu genap dan
Mata dadu bukan genap

Pembahasan.

Banyaknya anggota/ruang sampel : n(S) = 6
Untuk Mata Dadu Genap
Titik sampel mata dadu genap : (2), (4), (6) → n(A) = 3
Peluang muncul mata dadu genap :
P(A) = 3/6 = 1/2
 Jadi, peluang muncul mata dadu genap adalah : 1/2
Untuk Mata Dadu Bukan Genap
Ingat teori tentang Kompelemen suatu kejadian. Jika ada kata-kata bukan, berarti mengarah kepada komplemen suatu kejadian.
P(A) + P(A') = 1 ⇔  1/2 + P(A') = 1 ⇔  P(A') = 1 - 1/2 ⇔ P(A') = 1/2
Jadi, peluang muncul mata dadu bukan genap adalah : 1/2

Soal No.5.
Apabila sebuah dadu bermata 6 dilempar. Carilah peluang untuk tidak mendapat sisi dadu 4 ?

Pembahasan:
Dalam menjawab soal ini terdapat dua cara, yaitu :
1. Cara Pertama
Banyaknya anggota/ruang sampel : n(S) = 6
Peluang untuk tidak mendapat sisi dadu 4, artinya selain angka 4, berarti dadu menampilkan sisi angka : 1, 2, 3, 5 dan 6.
Artinnya Titik sampelnya :(1), (2), (3), (5), (6) → n(A) = 5
Peluang muncul sisi dadu bukan 4 :
P(A) = n(A)
n(S) = 5/6

2. Cara Kedua
Banyaknya anggota/ruang sampel : n(S) = 6
Peluang muncul hanya sisi dadu 4 adalah sekali, artinya n(A) = 1
Peluang muncul sisi dadu 4 :
P(A) = n(A)
n(S) = 1/6
Untuk mencari peluang sis dadu bukan 4, artinya selain angka 4, maka kita dapat gunakan rumus Komplemen suatu kejadian :
P(A) + P(A') = 1 ⇔  1/6 + P(A') = 1  ⇔  P(A') = 1 - 1/6 ⇔ P(A') = 5/6
 Jadi Peluang muncul sisi dadu bukan 4 adalah : 5/6

Soal No.6.
Jika kita melempar sebuah dadu sebanya satu kali, berapakah peluang munculnya mata dadu angka genap dan angka yang habis dibagi 3 ?

Pembahasan:
Soal ini adalah kasus dari penerapan dua kejadian dikatakan tidak saling lepas dimana terdapat kedua kejadian yang terjadi secara bersamaan
Rumus yang digunakan adalah :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}
Banyaknya anggota/ruang sampel : n(S) = 6
Kita misalkan D merupakan kejadian munculnya angka dadu genap, dan B munculnya angka dadu yang habis dibagi tiga maka:
Titik sampel D = {2,4,6} → n(D) = 3
Titik sampel B  = {3,6} → n(B) = 2
Jika diperhatikan ada titik sampel D yang juga terdapat di titik sampel B, denga demikian :
D ∩ B = {1}
Peluang munculnya angka dadu genap adalah :
P(D) = n(D)
n(S) = 3/6
Peluang munculnya angka dadu yang habis dibagi tiga adalah:
P(B) = n(B)
n(S) = 2/6
Jadi peluang kedua kejadian tersebut adalah :
P(D ∪ B) = P(D) + P(B) - P(D ∩ B)
P(D ∪ B) = 3/6 + 2/6 - 1/6
P(D ∪ B) =  4/6 =  2/3
Jadi peluang munculnya mata dadu angka genap dan angka yang habis dibagi 3 adalah : 2/3

Soal No.7.
Sebuah kantong terdiri dari 7 kelereng merah, 4 kelereng biru, dan 5 kelereng hijau. Dari kelereng- kelereng tersebut akan diambil satu kelereng. Carilah peluang terambilnya kelereng berwarna biru ?

Pembahasan :
Banyaknya anggota/ruang sampel : 7 kelereng merah + 4 kelereng biru + 5 kelereng hijaun = 16 Kelereng → n(S) = 16
Titik sampel kelereng biru n(A) = 4
Peluang terambilnya kelereng warna biru adalah :
P(A)= n(A)/n(S)
P(A) =  4/ 12 = 1/3

Soal No.8.
Sebuah dadu dilempar undi sekali. Tentukan peluang muncul mata dadu genap dan bilangan prima ?

Pembahasan :
Soal ini adalah kasus dari penerapan dua kejadian dikatakan tidak saling lepas dimana terdapat kedua kejadian yang terjadi secara bersamaan
Rumus yang digunakan adalah :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}
Banyaknya anggota/ruang sampel : n(S) = 6
Kita misalkan A merupakan kejadian munculnya angka dadu genap, dan B munculnya angka dadu bilangan prima:
Titik sampel A = {2,4,6} → n(A) = 3
Titik sampel 𝐵 = {2,3,5} → n(B) = 3
Jika diperhatikan ada satu titik sampel A yang juga terdapat di titik sampel B, denga demikian : A ∩ B = {1}
Peluang munculnya angka dadu genap adalah :
P(A) = n(D)
n(S) = 3/6
Peluang munculnya angka dadu bilangan prima adalah:
P(B)= n(B)
n(S)  = 3/6
Jadi peluang kedua kejadian tersebut adalah :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 - 1/6
P(A ∪ B) = 5/6
Jadi peluang munculnya peluang muncul mata dadu genap dan bilangan prima : 5/6

Soal No.9
Misalnya ketika memilih bola secara acak dari keranjang yang berisi 3 bola biru, 2 bola hijau dan 5 bola merah. Hitunglah peluang untuk mendapat bola biru atau merah ?

Pembahasan :

Soal ini merupakan contoh dari dua kejadian saling lepas. Dikatakan saling lepas karena kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Kalau ada penekanan kata "dan" maka disebut "dua kejadian dikatakan tidak saling lepas". Jika ada penekanan kata "atau" maka disebut "dua kejadian saling lepas.
Rumus untuk dua kejadian saling lepas adalah :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Banyaknya anggota/ruang sampel : n(S) = 10
Kita misalkan A merupakan peluang mendapatkan bola biru, dan B merupakan peluang mendapatkan bola merah :
n(A) = 3
n(B) = 5
P(A) = 3/10
P(B) = 5/10
Peluang peluang untuk mendapat bola biru atau merah adalah :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) =  3/10 + 5/10
P(A ∪ B) =  8/10  =  4/5
Jadi peluang peluang untuk mendapat bola biru atau merah adalah : 4/5

Soal No.10.
Dalam sebuah permainan diharuskan kita melempar sebuah dadu sebanyak 30 kali. Hitunglah berapa frekuensi harapan muncul mata dadu angka 5 ?

Pembahasan :
Ruang Sampel (S) :{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Banyaknya ruang sampel : n(S) = 6
Kejadian muncul mata dadu angka 5 :
5 = {5} → n(5) = 1
Peluang muncul angka 5 untuk satu kali lemparan adalah :
P(5)= n(5)/n(6)
P(5) = 1/6
Frekuensi harapan muncul angka 5 dari 30 kali percobaan adalah :
f(A) = n x P(A)
f(A) = 30 x P(5)
f(A) = 30 x 1/6
f(A) = 5
Jadi frekuensi harapan muncul mata dadu angka 5 adadalah : 5